kemiringan

MAKALAH  STATISTIK

TEORI PELUANG                                                                                                                                                   KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN

DI

S

U

S

U

n

oleh:

Nama          : Safriani

Nim             : 140130047

Mk              : Statistika Industri

                                     Dosen Pembimbing         :Fatimah, ST.,MT

Kata Pengantar

Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, karena berkat rahmat-Nya kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudulTeori Peluang “ Kemencengan atau Kecondongan”. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Statistik

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan demi sempurnanya makalah ini. 

Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Lhokseumawe,  Oktober 2015

                                                                            DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

1.1.   Latarbelakang

1.2.   Rumusan  Masalah

1.3.   Tujuan

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Kemiringan

2.2.Koefisien Kemencengan Pearson

2.3. Koefisien Kemencengan Bowley

2.4.Koefisien Kemencengan Persentil

2.5. Ukuran Kemiringan (skewness)

2.6. Rumus bowley

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar belakang

 Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. Obyek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak. Jika koin individu melemparkan atau gulungan dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari dan diprediksi.

Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar dan teorema limit pusat. Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah penting untuk kegiatan manusia banyak yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data.

Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. Sebuah penemuan besar fisika abad kedua puluh adalah sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum . Dalam makalah ini saya akan menjelaskan tentang kemencengan atau kecondongan (Skewness) dan rumus-rumusnya  misalnya Rumus Pearson ,Rumus Momen , dan Rumus Bowley           

1.2  Rumusan Masalah

·         Apakah pengertian  kemiringan?

·         Bagaimana rumus kemiringan?

     

1.3  Tujuan

o   Untuk memenuhi tugas dari dosen pada mata kuliah Statistika

o    Agar pembaca mengerti apa maksud  dan rumus dari Kemiringan atau kecondongan

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.Pengertian Kemiringan

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya  sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

2.2.   Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

Sk = koefisien kemencengan pearson

Aoabila secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:

1)      Sk =0                      kurva memiliki bentuk simetris

2)      Sk>0                      Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (  terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;

3)      sk< 0                      Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010

a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !

b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.

b. Gambar kurvanya :     

2.3. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

Kemencengan.Apabila nilai sk_B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara

negatif.

3) sk_B positif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) sk_B negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) sk_B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk_B> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :

Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Karena sk_B negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.

2.4 Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\

Keterangan :

sk_P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan

dengan α₃. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α₃dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α₃= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α₃ = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α₃= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α₃> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α₃ bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.

Untuk mencari nilai α₃, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

α₃ = koefisien kemencengan momen

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

2.5.Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)
    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil

Kemiringan              simetri (normal)             kemiringan                 Negatif                              positif


Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang bisa digunakan untuk menghitung koefisien skewness yaitu :

    Rumus pearson

 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)



    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2  ∑ ( X1 X ̅ )3


    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3  ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
 X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan

   2.6. Rumus bowley
Rumus ini menggunakan nilai kuartil :

    3 =  (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 )
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga


Cara menentukan kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2  =  Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya jika distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1


Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang menunjukan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan pada dasarnya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan memiliki nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang menyebabkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan jika kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.

Analisis kasus :
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368


Sebelum menggunakan rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
 X ̅ = A + ((∑▒〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
 X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2  n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026

Standar Deviasi :
       
        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan menunjukan bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan

                                                            BAB III
                                                         PENUTUP

    KESIMPULAN

Dari data di atas kita bisa menyimpulkan bahwa

·         Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi

·         Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku.

·         Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi

·         Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi

Artikel Terkait